ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA  (para 8°A-B-C_ 2013)

IGUALDAD: Es la expresión en donde dos cantidades algebraicas tienen el mismo valor simbólicamente:

a  =  b  +  c      ,   lado izquierdo = lado derecho  ,    9 = 3 + 6

ECUACION: Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas INCOGNITAS o VARIABLES (letras). Cuando se quiere solucionar una ecuación se debe hallar el valor de la incógnita de tal forma que la igualdad sea correcta, esto se comprueba reemplazando el valor hallado.

Las ecuaciones se clasifican según el máximo exponente que tiene la incógnita en:

Ecuaciones de primer grado o lineales: son aquellas cuyo máximo exponente de la incógnita  es uno.

Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas: son aquellas cuyo máximo exponente de la incógnita es dos.

Reglas para despejar la incógnita en una ecuación:

 1) Lo que esta sumando de un lado de la ecuación pasa restando al otro lado de la ecuación y viceversa.

2) Lo que esta multiplicando de un lado de la ecuación pasa al otro lado dividiendo y viceversa.

RAICES O SOLUCIONES: De una ecuación son los valores de las incógnitas que verifican o satisfacen la ecuación, es decir, que sustituidos en lugar de las incognitas, convierten la ecuación en identidad. Las ecuaciones de primer grado con una incógnita tienen una sola raíz, como el exponente de la variable es uno (1) se llama ecuación de primer grado o ecuación líneal  ax + b = 0 y determina gráficamente una línea recta.

TRANSPOSICION DE TERMINOS: Consiste en cambiar los términos de una ecuación de un lado a otro.

REGLA: Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro CAMBIANDOLE EL SIGNO. Términos iguales con signos iguales en distinto lado de una ecuación, pueden suprimirse o cancelarse:      EJEMPLO 1:         X + 3 = 3       entonces  x = 0

EJEMPLO 2: Resolver   X + 2 = 5    ,    Debemos despejar X, es decir, dejar sola la letra X en el lado izquierdo, trasladando lo que esté en este lado, al lado derecho pero CAMBIADO DE SIGNO( SI ES POSITIVO SE PASA AL OTRO LADO CON SIGNO NEGATIVO(-) Y SI ES NEGATIVO SE PASA AL OTRO LADO CON SIGNO POSITIVO(+) ) pero si la incógnita está en el lado derecho se trasladan los números al lado izquierdo, y al final se voltea la ecuación, es decir, la derecha para la izquierda SIN CAMBIAR SIGNOS. Así:   X + 2 = 5   trasladamos el 2 cambiándole el signo

                                                     X = 5 – 2     entonces   X = 3 RTA.

Comprobemos reemplazando X = 3,  así:   ( 3 ) + 2 = 5   entonces   5 = 5 correcto

PROPIEDAD SIMETRICA DE LA IGUALDAD: Toda ecuación se puede invertir sin cambiar ningún signo EJEMPLO: 2 = X   entonces       X = 2

Cada una de las ecuaciones tenía exactamente una solución. Cuando se da una ecuación que puede escribirse como ax+b=c, existen tres posibilidades para la solución:

1)    La ecuación tiene una sola solución. Se trata de una ecuación condicional.

2)    La ecuación no tiene solución. Es una ecuación contradictoria.

3)    La ecuación tiene un número infinito de soluciones. Es una identidad.

ecuación no tiene solución.

A C T I V I D A D    N° 1

  Resolver o hallar el valor de la incógnita:

1) X – 15 = - 22           Rta: - 7   ,       2) X – 5 + 23 = 8        Rta:    ,           3) 15 + X = - 3 – 8              Rta: - 26

4) 13 = - 11 – 12 + X             Rta: 36    5) -19 + 8 +  X = 3             Rta: 14       6) X – 8 – 3 + 5 = - 2             Rta 4

7) – X = - 12 + 5     Rta: 7           8) – 8 + 25 = - X          Rta: - 17                 9) – 12 + Y = 13 

  EJEMPLO:

3( 2x + 5 ) − 2 (4 + 4x )  = 7     lo primero que hacemos será las operaciones de los paréntesis

6x + 15 − 8 − 8x = 7                        sumamos los términos en x y los términos independientes

       − 2x + 7 = 7                                    transponemos los términos

           − 2x = 7 − 7       ⇒     − 2x = 0      X = 0/-2      despejamos la incógnita    ⇒     x = 0

CUANDO UNA INCOGNITA ESTA MULTIPLICADA O DIVIDIDA POR UN NUMERO  Como lo que se quiere es despejar la letra o variable, primero se debe trasladar al otro lado los números que esten sumando o restando cambiándoles de signo, luego se hacen las operaciones necesarias, entonces SI UN NUMERO ESTA MULTIPLICANDO a la variable este con su signo pasa a DIVIDIR a todo lo que este en el otro lado; en otro caso SI UN NUMERO ESTA DIVIDIENDO a la variable esta con su signo pasa a MULTIPLICAR a todo lo que este en el otro lado, algunas veces es conveniente encerrar entre paréntesis lo que este al otro lado.

 EJEMPLO 3:       3X = 6   entonces X = 6/3       entonces      X = 2

EJEMPLO 4:    

EJEMPLO 5:   4X + 3 = - 8   entonces  4X = - 8 – 3  entonces  4X = - 11 luego X = -11/4                                                                                                                                             

RESOLUCION DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA:

1- Se efectúan las operaciones indicadas si las hay y se destruyen paréntesis si existen.

2- Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro (el izquierdo ) todos los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro(el derecho) todas las cantidades conocidas(constantes).

3- Se  reducen términos semejantes en cada miembro o lado.

4- Se despeja la incógnita trasladando el término que multiplica a dividir.EJ:    15X + 6 = 10X + 5                                                                               

                       15X – 10X = 5 – 6  entonces  5X = - 1    luego   X = -1/5

A C T I V I D A D   N ° 2

1) 3x + 9 = 5x – 11           2) 5x + 6 = 3x + 5          3) 9y – 12 = - 10 + 12y

4) 8x – 4 + 3x = 7x + x + 14             5) 16 + 7x – 5 + x = 11x – 3     

6) x – (2x + 1 ) = - 8

7) 15x – 10 = 6x – (x + 2)         8) x + 3(x – 1 ) = 6 – 4(2x + 3)       

9) 5x = 8x -15    

II) Resolver las ecuaciones siguientes:

1)   3x + 5 = 5x – 13                                       2) 5(7 − x) = 31− x

3)   4(2 − 3x) = −2x – 27                                  4)   6x − 8 = 4(−2x + 5)

5)   3(2x − 2) = 2(3x + 9)                                  6)   3(4x + 7) = 4x – 25

7)   7x + 15 = 3(3x − 7)                             8)   9 − 2(x + 4) − 10(25 − x + 4) = 5 − 3x − 4(x + 1)

III) Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 3( x −1 ) = x+11                   b) 3x + 7 = 2( 8 + x )                    c)   5( 4 + x ) = 7x – 2

d) 5( 3x + 2 ) = 8( 9 − 2x )        e) 38 + 7( x −3 ) = 9( x−1 )   f) 2( 3x−7) + 6 = 4x − 3( 2 − 2x )

g) 11x + 4 = 3( 1 − 2x ) + 1            h)  7( 3x + 2 ) − 5( 4x – 3 ) = 4( x – 2 ) + 1

IV ) ECUACIONES CON PARENTESIS

1)     –  x – ( 2x + 1) = 8 – (3x + 3)                                2)  15x – 10 = 6x – (x + 2) + ( – x + 3)

3)  (5 – 3x) – (– 4x + 6) = (8x + 11) – (3x – 6)     

  

 4)  30x – (-x + 6) + (-5x + 4) =–  (5x + 6) + (8 + 3x)

5)    15x + ( – 6x + 5) – 2 – ( – x + 3) = - (7x + 23) – x + (3 – 2x)     

6) 3x + [ –  5x – (x + 3)] = 8x + (– 5x – 9)

7)  16x – [3x – (6 – 9x)] = 30x + [-(3x + 2) – (x + 3)]       8)  x – [5 + 3x – {5x – (6 + x)}] = -3

9)   9x – (5x +1) – {2 + 8x – (7x – 5)} + 9x = 0

10)   71 + [-5x + (-2x + 3) = 25 – [-(3x + 4) – (4x + 3)]

.

11)   – {3x + 8 – [ – 15 + 6x – ( – 3x + 2) – (5x + 4)] – 29} = -5